Problema 53.

 

         Encontrar la ecuación de la lente delgada utilizando el principio de Fermat..

 

 Solución:

    Cuando la luz atraviesa la lente delgada, todos los haces  que parten del punto objeto convergen en el punto imagen a pesar  de que lo hacen por recorridos diferentes. Esto significa que en cada una de estas trayectorias el haz de luz requiere el mismo tiempo, y  que a la vez este tiempo es menor que el tiempo necesario para recorrer cualquiera otra

trayectoria mostrada con líneas discontinuas en la fig.1.

 

                    Fig.1.                                                 Fig.2.

 

Para  encontrar la ecuación de la lente delgada tomemos dos trayectorias: una  (AOA´) que pasa por el centro de la lente y otra (ABA´) pasa por el extremo de la misma (fig.2).

Puesto  que la luz se propaga en el vacío (aire) con una velocidad c, el tiempo para recorrer la trayectoria ABA´ es igual a

                                                               

y el tiempo para recorrer la trayectoria AOA´ es igual a

                                                      

donde nΔ1 y nΔ2 son caminos ópticos de la luz dentro de la lente cuyo índice de refracción es n. En el aire el camino óptico de la luz coincide con su camino geométrico ya que el índice de refracción del aire es igual a 1.

 Puesto que la luz recorre ambas trayectorias en el mismo tiempo, por lo tanto

                                                     ;

                         (1)

 Consideramos solamente los haces paraxiales. Por lo tanto

                                              h << (o + Δ1),

                                              h << (i + Δ2).   

Note que  el problema se tomo un haz que pasa por el extremo de la lente. De esta manera el haz  entra y sale por el mismo punto a una distancia h del centro de la lente.  Esto limita el diámetro físico de la lente.

Para simplificar la ecuación anterior presentamos los radicales en siguiente forma:

                                     

Sustituyendo los radicales  por la expresión aproximada 

                                                                   (2)

se obtiene 

              

          

               

Poniendo las dos últimas  expresiones en (1), se obtiene

                 (3)

Despreciando  en la expresión (3)  Δ1  en comparación con  el o y Δ2  con  el i, tenemos

                                                (4)

                                                                              

 Ahora hay que encontrar una expresión adecuada para  el  Δ1 y para el Δ2.

En  la fig.53 se ve que

                          

Utilizando la aproximación (2), se obtiene

                                                          

Por analogía,         

                                                      

Sustituyendo Δ1 y  Δ2 en la igualdad (4), tenemos

                                     

Según el convenio de signos para la lente el radio de curvatura r2 tiene signo “-“  ya  que el centro de curvatura C2 se encuentra del lado virtual. Por lo tanto,

                                            

donde

                                                   

Finalmente tenemos

                                                         

 Observe que el signo de f está decidido por la suma  (Δ1 +  Δ2).

Si la suma (Δ1 +  Δ2) es positiva, entonces la lente será más gruesa en el centro que en los bordes como en el ejemplo anterior y la lente será convergente. Si la suma (Δ1 +  Δ2) es negativa, entonces la lente será más gruesa en los bordes que el  centro y la lente será divergente.